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By Bernard Beck, Isabelle Selon

ISBN-10: 2011456339

ISBN-13: 9782011456335

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1) Montrer la convergence et calculer la somme de la n u n = ln tan ** (−1)k (2k + 1) (−1)n √ converge. n + (−1)n+1 n Montrer que la série On note S sa somme. vn converge et calculer sa somme ; vn = 1 si, et seulement si, la série (−1)k (2k + 1) 2) En déduire la nature de la série de terme général : 0 ∞ 2) Rn sont de même na- série : . Soit (u n ) une suite de réels > 0. un On pose vn = . (1 + u 0 )(1 + u 1 ) . . (1 + u n ) Montrer que : 1) la série n u n et 2) Lorsque ces séries convergent, donner une relation entre les sommes.

Nous allons étudier cette méthode et l’appliquer ensuite à des complexes. 1) a) a désignant un réel fixé, étudier la suite (u n ) définie par : 1 a u 0 ∈ R∗ , ∀ n ∈ N u n+1 = un + 2 un b) Afin de préciser la vitesse de convergence de la suite (u n ), on pose : un vn = √ , a puis en = vn − 1. Montrer que, pour tout n 1, on a : 1 2 0 en+1 e . 2 n La convergence est alors dite quadratique. ), mathématicien grec. Nous lui devons la formule liant l’aire, le périmètre et les trois côtés d’un triangle : S = p( p − a)( p − b)( p − c) c) On fixe a = 7 et u 0 = 1.

La photocopie non autorisée est un délit n Une once de topologie Dans tout ce paragraphe, (E, distance associée à la norme. v Un point x d’une partie A de E est appelé point intérieur à A s’il existe une boule ouverte de centre x incluse dans A (doc. 6) : ∃r > 0 Exemple E = R, x A BO(x,r) B O(x, r ) ⊂ A u Doc. 6. x = |x|, A = ]0, 1]. 1 est un point intérieur à A car B O 2 1 n’est pas un point intérieur à A. 1 1 , 2 4 = 1 3 , ⊂ A (doc. 7). 4 4 ] 0 Pour s’entraîner : ex. 8. 48 11 12 1 Z1 − Z0 = 1−k AX = 1 (2x − z)2 + (2x + 3y − 2z)2 + 4(x + y − z)2 6 √ 1 33 2 2 2 X .

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Analyse 2e année PC PSI by Bernard Beck, Isabelle Selon


by Joseph
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