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By Richard Courant

ISBN-10: 3540054669

ISBN-13: 9783540054665

ISBN-10: 3642619886

ISBN-13: 9783642619885

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer e-book documents mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

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Die an bilden also eine absteigende, die b" eine ansteigende monotone Zahlenfolge. Da aber diese Zahlen samtlich zwischen den Schranken bo und ao liegen, so existieren nach unseren obigen Betrachtungen die Grenzwerte lim an n---+oo = A und lim b,. = B. " ...... 00 2 2 also A =B. Diesen gemeinsamen Grenzwert nennt man das arithmetisch-geometrische Mittel der Zahlen ao und bo. un 9. Motivierung der prazisen Grenzwerldefinition. Es ist nicht zu verwundern, daB jemand, der zum ersten Mal die abstrakte Definition des Grenzwertes einer Folge Mrt, sie nicht in ein paar Minuten ganz erfassen kann.

Nunmehr erst lassen wir n waehsen, wobei Tn gegen T strebt und aus der hingesehriebenen Doppelungleiehung sofort T = lim 5" = e folgt. Dies aber war unsere Behauptung. " .... 00 1 Wir erhalten namIich Tn+l aus T", indem wir die Faktoren 1 - ~. 1 - ~ •. ,. n n durch die groBeren , _ _' - . 1 _ _2_, ... ersetzen und ein letztes positives Glied hinzufiigen. n +1 n +1 I. Vorbereitungen. 40 6. Beweis der Irrationalitat von e. Die Zahl e ist irrational. Wir fiihren den Beweis indirekt. - angenommen wo p und q ganze Zahlen sind.

Unsere Betrachtung gibt uns gleichzeitig eine Abschatzung dafUr, urn wieviel die Zahl an (fUr n > 2) ungunstigstenfalls sich von dem Grenzwerte 1 unterscheiden kann; dieser Unterschied wird sicherlich nicht mehr als ~ betragen. n Der eben betrachtete Grenzubergang bringt die von vornherein sehr plausible Tatsache zum Ausdruck, daB im Ziihler und Nenner des Bruches fur a,. die Glieder mit den hochsten Exponenten bei groBen Werten von n uberwiegen und fUr die Bildung des Grenzwertes den Ausschlag geben.

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Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung: Erster Band: Funktionen einer Veränderlichen by Richard Courant


by Kenneth
4.1

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